a^3-b^3=65

a³-b³=65を満たす整数の組(a,b)をすべて求めよ。

たまたまなんですが、Youtubeでこんな数学の問題があるのを知りました。

せっかくなので答えを見る前に自分でもやってみるぞ！と一念発起してみました。

かなり違う解法をしていたので、せっかくなので自分流の回答を掲載してみます。

（そして気づいたのですが、手書きするよりもパソコンで清書するほうが時間がかかる・・・）

任意の実数bに対して、f(a)=a³-b³は単調増加関数。

（∵ f’(a)=3a² ≧0）

f(a)は次のような関数になる。

なお、f(a)はy=a³をy軸方向に-b³だけ平行移動したもの。

a軸との交差箇所近傍を拡大する。

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ここでf(a)=a³-b³=65を満たすためには、いくつかの条件がある。そのうちの１つは以下。

条件）a=b+1の時のf(a)が65以下であること

整数に範囲を絞ると、a=b+1の時、f(a)はf(a)>0の中の最小値となる。

f(b+1)>65となってしまうと、そもそもf(a)=65を満たす整数はない。

したがって、(b+1)³-b³ ≦65

b³+3b²+3b+1-b³ ≦65

3b²+3b ≦64

3b(b+1) ≦64

b(b+1) ≦21.33333・・・・

これを満たす整数bは、　b=-5、-4、-3、-2、-1、0、1、2、3、4

（さらに条件を絞っても良いが、簡単な計算なので、ここから総当たりの方が短時間でできそう。と余計なことをつぶやいてみる。「条件を絞るスキルは持ち合わせているぜ！」というさりげないアピール。さりげなくない？　前面に出しすぎ？）

a³-b³=65（ a³=65+b³）を満たす整数aがあるかを考えてみる。

よって、aとbの組み合わせは

(a、b)=(1,-4)、(4,-1)

こんな感じです。

もっと簡単に解けるかもしれないけれど、それを数学的な言語に置き換える術を持っていない。。。

整数nに対して、n³をツラツラと書いていく。（　）はn。

・・・、-216(-6)、-125(-5)、-64(-4)、-27(-3)、-8(-2)、-1(-1)、0(0)、1(1)、8(2)、27(3)、64(4)、125(5)、-216(6)、・・・

n=-6以下とかn=6以上だと、もう、どんな3乗の整数を足しても引いても、絶対値65を超えちゃいますよね（ここの部分を数学的な言語で記載できれば、この解法もOK？）。なので、aもbも-5以上5以下でしょう。なので、a³もb³も取りうる範囲って以下じゃないですかね？

-125、-64、-27、-8、-1、0、1、8、27、64、125

これって眺めてるだけで絶対値が1と64のものを組み合わせる以外なくないですかね？

なので、aとbの組み合わせは4、-4、1、-1のいずれかだけでしょ。

総当たりで考えても1分くらいでわかるんじゃないですかね？

で、答えは冒頭と同じです。

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